Standardfehler des Mittelwertes

Liebes Tagebuch,

etwas unglaubliches ist mir heute nach der Uni widerfahren.

Nichts ahnend war ich auf dem Weg nach Hause, in eher gedrückter Stimmung, da dort noch mehr Arbeit wartete, vorbei am pervers frühen Weihnachtsmarkt.

Ich wusste immer, dass die schreienden Weihnachtsmänner von Grund auf böse Wesen sind, die gerne Kinder beschimpfen, doch ich kann eine milde Überraschung nicht leugnen, als einer von ihnen mich packte und in die Schatten einer der leeren Seitengassen von Innsbrucks Altstadt zerrte. Er warf mich gegen die Steinmauer, hielt mich mit seinen gewaltigen Armen dagegen gedrückt und zog ein Messer, das er mir an die Kehle hielt.

“Wie berechne ich die Streuung von Stichprobenmittelwerten um den Mittelwert einer Grundgesamtheit?”, schrie er aufgebracht und drückte die flache Seite der Klinge unangenehm stark gegen meinen Kehlkopf.

“Sie meinen den Standardfehler des Mittelwertes?”, krächzte ich im verzwifelten Bemühen, seinen fauligen Atem zu ignorieren.

“Genau! Den durchschnittlichen Fehler des beobachteten Mittelwertes aufgrund der Tatsache, dass er nur auf einer Stichprobe basiert! Raus damit, du Schwein! Sonst bring ich dich um!”, behauptete er, das Gesicht so rot wie seine Zipfelmütze.

Vom Wunsch weiterzuleben motiviert entschloss ich mich, ihm zu helfen.

„Okay, zuerstmal benötigen Sie die Varianz. Sie berechnen den Durchschnitt aus den Abweichungsquadraten der Merkmalsausprägungen.“

„Ich nehme also die Differenz zum Mittelwert meiner Stichprobe, quadriere ihn, zähle diese Werte zusammen und dividiere sie durch ihre Anzahl?“, fragte der Weihnachtsmann ungeduldig.

„Exakt. Der Nachteil hierbei ist, dass die Varianz eine andere Einheit hat als die ursprünglichen Daten, da es ja quadriert ist.“

„Quadrateuro kann ich nicht brauchen! Kann ich nicht einfach die Wurzel draus ziehen?“

„Sie sind auf dem richtigen Weg. Ziehen Sie die Wurzel, und Sie erhalten die sogenannte Standardabweichung. Das ist dann die durchschnittliche Abweichung einer Zufallsvariable von ihrem Mittelwert.“

„Was ist denn nun der verdammte Standardfehler des Mittelwertes? Ich will wissen, wie weit jeder Stichprobenmittelwert wahrscheinlich vom Mittelwert der Grundgesamtheit entfernt ist!“, rief er, packte mich am Mantel und streckte seine Arme, um mich aufzuheben und weiter gegen die Mauer zu knallen.

„Dazu wollte ich gerade kommen“, erklärte ich. „Der Standardfehler des Mittelwertes ist der Quotient aus der Standardabweichung der Grundgesamtheit und der Wurzel des Stichprobenumfangs.“

Seine Züge erhellten sich plötzlich. „Der Standardfehler liefert also eine Aussage über die Güte des Mittelwertes, da er proportional zur realen Streuung der Grundgesamtheit, und umgekehrt proportional zur Wurzel der Anzahl meiner Stichprobenwerte – je mehr Einzelwerte, desto kleiner wird mein Standardfehler…“

„… und damit wird der Mittelwert robuster. Sehr richtig.“, ergänzte ich.

„Moment!“, donnerte er plötzlich, „Was, wenn mein Messwert oder Befund nicht der Erwartung entspricht?“

„Sollten Sie einen Ausreißer in Ihren Stichproben finden, so vergewissern Sie sich zuerst, ob es sich um einen Messfehler handelt. Gegebenenfalls stellen Sie ihn dann im Boxplot gesondert dar, um die Statistik nicht zu verzerren.“

Hierauf begann er diabolisch zu lachen. „Du Narr! Dank deiner Hilfe kann mich nun nichts mehr aufhalten!“

Mit diesen Worten drehte er seinen massigen Weihnachtsmannkörper, die riesigen pranken noch an meinem Kragen, und schleuderte mich so mit dem Kopf voran auf die gegenüberliegende Wand.

Als ich Stunden später wieder zu mir kam, begann ich trotz der Kopfschmerzen und dem gefrorenen Blut, das meine Augen verkrustete, zu grinsen. Den hatte ich sauber ausgetrickst. Ich hatte es nämlich verabsäumt ihn daran zu erinnern, dass die Varianz der Grundgesamtheit normalerweise nicht bekannt ist, und er mittels eines zweiseitigen Konfidenzintervalls den besten Schätzwert dafür berechnen hätte müssen.

Was war ich da froh, dass ich gerade am Freitag ein Referat zu ebendiesem Thema gehalten hatte. Man glaubt ja nicht, wozu dieses enorm wichtige Thema doch gut sein kann!

Zitternd erhob ich mich und wankte zurück auf die Hauptstraße, bevor der Weihnachtsmann mein geniales Spiel durchschauen und zurückkehren konnte, um sich zu rächen.

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